Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Определение 1

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = (A , B , C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Пример 1

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 .

Решение

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = (2 , - 3 , 7) - это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , - 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = (2 , - 3 , 7) .

Пример 2

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z - 7 = 0 .

Решение

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z - 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z - 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1 , 0 , 2) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t , 0 , 2 · t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: (t , 0 , 2 · t) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вектор нормали

Плоская поверхность с двумя нормалями

В дифференциальной геометрии , нормаль - это прямая , ортогональная (перпендикулярная) касательной прямой к некоторой кривой или касательной плоскости к некоторой поверхности . Также говорят о нормальном направлении .

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Вектор нормали" в других словарях:

вектор нормали - normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vector vok. Normalenvektor, m rus. вектор нормали, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Вектор Дарбу направляющий вектор мгновенной оси вращения, вокруг которой сопровождающий триэдр кривой L поворачивается при… … Википедия

Электродинамика сплошных сред Электродинамика сплошных сред … Википедия

Вектор Дарбу направляющий вектор мгновенной оси вращения, вокруг которой сопровождающий триэдр кривой L поворачивается при равномерном движении точки M по кривой L. Вектор Дарбу лежит в спрямляющей плоскости кривой L и выражается через единичные… … Википедия

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Если величина выражается… …

Направляющий вектор d мгновенной оси вращения, вокруг к рой сопровождающий триэдр кривой Lповорачивается при равномерном движении точки Мпо кривой L. Д. в. лежит в спрямляющей плоскости кривой Lи выражается через единичные векторы главной нормали … Математическая энциклопедия

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Гиперповерх … Википедия

Графический конвейер аппаратно программный комплекс визуализации трёхмерной графики. Содержание 1 Элементы трехмерной сцены 1.1 Аппаратные средства 1.2 Программные интерфейсы … Википедия

Математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над Векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и… … Большая советская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Плоскость. Сюда перенаправляется запрос «Плоскостность». На эту тему нужна отдельная статья … Википедия

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Замечание 1

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ - в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x \cdot \cos{\alpha} + y \cdot \sin{\alpha} - p = 0$

где $\alpha$ - угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ - расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой - самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Определение 1

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $\vec{n}(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

$Ax + By + C = 0$,

то нормальный вектор описывается формулой:

$\bar{n}(A; B)$.

При этом говорят, что координаты нормального вектора "снимаются" с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $\bar{p}(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $\bar{p}(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

$\frac{x - x_0}{p_1} = \frac{y - y_0}{p_2}$

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$\bar{p} \cdot \bar{n} = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implies \bar{p} \perp \bar{n}$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $\bar{n}(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

Пример 1

Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $\bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ $3x - y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно "сняв" из него координаты для нормального вектора:

$3x - y = 0 \implies A = 3; B = -1 \implies \bar{n}(A; B) = \bar{n}(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x - y = 0$:

$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$\bar{p}(-B; A) \implies \bar{p}(1; 3)$

Ответ: $3x - y = 0; \bar{p}(1; 3).$

Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Решение . Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Ответ : n = (− 1; 1; − 1)

· Задача . В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Решение . В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Ответ : n = (− 1; 1; 0)

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Высшая математика I.

Вариант 2.13

1.(С03.РП) Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой
.

Вектор
- нормальный вектор прямой

,

Запишем уравнение АВ :

Ответ:
.

2.(8Т3.РП) Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку
и точку пересечения прямых
и
.

Найдем координаты точки В – точку пересечения прямых
и
:

умножили второе уравнение на -2, а теперь их сложим

Получили координаты т. В (
).

Запишем уравнение АВ :

Ответ:
.

3.(Т43.РП) Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки
,
перпендикулярно плоскости
.

Общее уравнение плоскости имеет вид A(x-x 1 )+B(y-y 1 )+C(z-z 1 ) =0

М 1 (4,-3,3), то можно записать:

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

Т.к. плоскость проходит через точку М 2 (1,1,-2), то можно записать:

A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости заданной уравнением: По условию перпендикулярности плоскостей:

А 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0

1 × А+(-3) × B+5 × C=0

А=3B-5C

Подставим в нижнее уравнение

4.(303) Найти расстояние от точки
до прямой
.

Найдем точку пересечения перпендикуляра проходящего через точку А . Назовем ее Н(x , y , z ) .

АН:3(x-2)+4(y+1)+2z=0  3x+4y+2z-2=0

Параметрические уравнения прямой имеют вид:

т.Н (4,-3,1)

5.(5Б3.РП) Найти те значения параметров и , при которых прямые
и
параллельны.

Для вычисления направляющего вектора используем формулу:

Вычислим направляющий вектор прямой

Т.к. A||B 

Получим систему уравнений:

Ответ: А=0, В=-1.

6.(733) Прямая параллельна плоскости , пересекает прямую
и проходит через точку
. Найти ординату точки пересечения прямой с плоскостью
.

Найдем k :

Запишем параметрические уравнения прямой :

Подставим х,у, z в уравнение L и получим значение t.

т.В (8;-8;5) принадлежит L

Запишем параметрические уравнения L:

Подставим данные значения в уравнение :

Найдем ординату точки пересечения

Ответ: -2,5.

7.(983). Найти радиус окружности, имеющей центр в точке
, если она касается прямой
.

Для того, чтобы найти радиус окружности, можно найти расстояние от точки А до данной прямой и данное расстояние будет равно радиусу.

Воспользуемся формулой:

8. Дана кривая .

8.1. Доказать, что данная кривая – эллипс.

8.2.(ТТ3.РП) Найти координаты центра его симметрии.

8.3.(4Б3.РП) Найти его большую и малую полуоси кривой.

8.4.(2П3) Записать уравнение фокальной оси.

8.5. Построить данную кривую.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Приведём уравнение кривой к каноническому виду:

Т.к. искомое не содержит ху , то остаемся в старой системе координат.

Приняв за новое начало точку
, применим формулы преобразования координат

Это соответствует общему виду уравнения эллипса, у которого большая полуось равна 4, а малая полуось равна 2.

Фокальные радиус – векторы данного эллипса соответствуют уравнению

9. Дана кривая
.

9.1. Доказать, что данная кривая – парабола.

9.2.(Л33). Найти значение её параметра .

9.3.(2Т3.РП). Найти координаты её вершины.

9.4.(7Б3). Написать уравнение её оси симметрии.

9.5. Построить данную кривую.

Каноническое уравнение параболы имеет вид: y 2 =2px

В нашем примере

Т.е. данная кривая – парабола, симметричная относительно оси ординат.

При этом 2р=-12

р=-6, следовательно ветви параболы обращены в вниз.

Вершина параболы находится в точке (-3;-2)

Уравнение оси симметрии данной параболы: х=-3

10. Дана кривая .

10.1. Доказать, что данная кривая – гипербола.

10.2.(793.РП). Найти координаты центра её симметрии.

10.3.(8Д3.РП). Найти действительную и мнимую полуоси.

10.4.(ПС3.РП). Написать уравнение фокальной оси.

10.5. Построить данную кривую.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Преобразуем уравнение воспользовавшись формулами поворота оси координат:

Получим:

Найдём l из условия:

т.е. приравняем коэффициент при x`y` к нулю

решения нормального

Основная образовательная программа основного общего образования оглавление

Основная образовательная программа

... Векторы . Длина (модуль) вектора . Равенство векторов . Коллинеарные векторы . Координаты вектора . Умножение вектора на число, сумма векторов , разложение вектора ... решение задач развития ребёнка, отсутствующих в содержании образования нормально ...

Образовательная программа основного общего образования (фгос ооо)

Образовательная программа

... векторами прямых решения ... обеспечение рациональной организации двигательного режима, нормального физического развития и двигательной подготовленности...

Примерная основная образовательная программа

Программа

... векторами , устанавливать перпендикулярность прямых . Выпускник получит возможность: овладеть векторным методом для решения ... обеспечение рациональной организации двигательного режима, нормального физического развития и двигательной подготовленности...